معادلات حاکم
Continuity: ∂ρ/∂t + ∇·(ρu)=0
Incompressible: ∇·u=0
Momentum: ρ(∂u/∂t + u·∇u)=−∇p+μ∇²u+ρg
Energy: ρCp(∂T/∂t+u·∇T)=k∇²T+S
طبقه‌بندی PDE
Aφxx + Bφxy + Cφyy + ... = 0
D = B² − 4AC
D<0 Elliptic
D=0 Parabolic
D>0 Hyperbolic
تفاضل محدود
Forward: (f[i+1]-f[i])/Δx → O(Δx)
Backward: (f[i]-f[i-1])/Δx → O(Δx)
Central: (f[i+1]-f[i-1])/(2Δx) → O(Δx²)
Second: (f[i+1]-2f[i]+f[i-1])/(Δx²)
معادله گرما صریح
∂u/∂t = α∂²u/∂x²
uᵢⁿ⁺¹ = uᵢⁿ + r(uᵢ₊₁ⁿ - 2uᵢⁿ + uᵢ₋₁ⁿ)
r = αΔt/(Δx)²
Stable if r ≤ 1/2
FVM
∫V ∇·F dV = ∮S F·n dA
cell balance:
Σ flux_out − Σ flux_in = sources + accumulation
مزیت اصلی: conservative بودن شارها و سازگاری با مش پیچیده.
Boundary Conditions
- Velocity inlet: سرعت/دبی معلوم
- Pressure outlet: فشار خروجی معلوم
- No-slip wall: سرعت روی دیواره = سرعت دیواره
- Symmetry: سرعت نرمال صفر و گرادیان نرمال صفر
Mesh Quality
- Aspect ratio را کنترل کن.
- Skewness بالا = خطای گرادیان و شار.
- Non-orthogonality بالا = نیاز به correction و خطر همگرایی.
- در لایه مرزی، رشد سلول‌ها آرام باشد.
Convergence
- Residual افت کند و flatten شود.
- مانیتورهای فیزیکی ثابت شوند.
- بالانس جرم/انرژی چک شود.
- Grid independence انجام شود.
Vorticity–Streamfunction
u = ∂ψ/∂y
v = −∂ψ/∂x
ω = ∂v/∂x − ∂u/∂y
∇²ψ = −ω
قانون طلایی CFD: اگر نتیجه خیلی زیبا ولی بدون اعتبارسنجی باشد، هنوز نتیجه مهندسی نیست.